Όταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο μαθηματικά, μπορούν να προσεγγίσουν την ομορφιά τους μόνο με αφηρημένο και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι με χρώμα και εικόνες.
Η έκθεση «Ιmaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον κανόνα, δίνοντας σε όλους μας τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε εικόνες τέχνης με ένα ανέλπιστο εργαλείο: την αλγεβρική γεωμετρία.
Oταν οι αδαείς περί τα μαθηματικά ακούνε κάποιον να λέει πόσο όμορφη είναι μια εξίσωση, συνήθως τον κοιτάζουν με δυσπιστία. Τώρα ήρθε η ώρα να αναθεωρήσουν. Σε αυτό θα τους βοηθήσει η έκθεση «Ιmaginary». Δίνοντας μορφή και χρώμα στους αφηρημένους αλγεβρικούς τύπους η πρωτότυπη πρωτοβουλία του γερμανικού μαθηματικού ινστιτούτου Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach φιλοδοξεί να κάνει ακόμη και όσους μισούν τα μαθηματικά να τα αγαπήσουν. Ή τουλάχιστον- και αυτό είναι ίσως πιο σημαντικό- να τα κατανοήσουν.
Λεμόνια και καρδιές
Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησεαπό το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ, διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση, την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».
Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναι η εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.
Οδηγίες χρήσης
«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».
Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσο και αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μια καινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .
Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.
Μια έκθεση γεννιέται
Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικό Χέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών. «Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσειπώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικόστοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».
Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.
Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικός στόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».
lalina@tovima.gr
LYAPUNOV PLAY
Παιχνίδι Λιαπούνοφ
Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.
TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ
Λεμόνια και καρδιές
Η εξίσωση x2+z2=y3 (1-y)3 είναι ένα πράσινο λεμόνι, η (x2+9/4y +z21)3-x z3=0- μια ενδιαφέρουσα για τους μαθηματικούς «κορυφή» ή «παραδοξότητα»- είναι μια κατακόκκινη ζουμερή καρδιά. Πώς κάτι τόσο «στεγνό» όσο ένας μαθηματικός τύπος μπορεί να μετατραπεί σε έργο τέχνης; «Η όλη ιδέα ξεκίνησεαπό το γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι πολύ αφηρημένα,κάτι το οποίο πραγματικά συμβαίνει μέσα στο μυαλό μας και απέχει πολύ από τον πραγματικό κόσμο» λέει μιλώντας στο «Βήμα» ο Αντρέας Ματ, διδάκτωρ μαθηματικός και συντονιστής της έκθεσης. «Θελήσαμε να τα κάνουμε πιο “χειροπιαστά” για το ευρύ κοινό και διαλέξαμε αυτή την κάπως διαφορετική προσέγγιση, την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους».
Η βάση αυτής της οπτικοποίησης είναι η αλγεβρική γεωμετρία, ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη γεωμετρία. «Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η άλγεβρα» εξηγεί ο κ. Ματ «είναι ο τύπος και η γεωμετρία είναι η εικόνα. Αυτό είναι και το νόημα του τίτλου“Ιmaginary”. Η λέξη “εικόνα”- “image”- αποτελεί μέρος του αφηρημένου “φανταστικού”“imaginary”» . Το όλο εγχείρημα έχει δύο σκέλη: ένα καθαρά μαθηματικό και ένα δημιουργικό, καλλιτεχνικό. Ειδικά προγράμματα που αναπτύχθηκαν από τους μαθηματικούς επιτρέπουν την «τοποθέτηση» των αλγεβρικών εξισώσεων στον χώρο και τη δημιουργία των ανάλογων σχημάτων- αλγεβρικών επιφανειών- τα οποία στη συνέχεια ο καθένας μπορεί να «γεμίσει» με τα χρώματα που θεωρεί κατάλληλα. Και όταν λέμε «ο καθένας» το εννοούμε: τα προγράμματα είναι εύχρηστα και δεν χρειάζονται ειδικές γνώσεις. Αντιθέτως, καθώς αναπτύσσει κάποιος το σχήμα, σιγά σιγά εκπαιδεύεται και αρχίζει να μπαίνει στο πνεύμα των μαθηματικών και να κατανοεί τη λειτουργία τους.
Οδηγίες χρήσης
«Κατ΄ αρχάς επιλέγετε έναν τύπο, οποιονδήποτε τύπο» εξηγεί ο κ. Ματ. «Ας πούμε τον x2+y 2-z=0. Οπως βλέπετε, ο τύπος αυτός περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές, οι οποίες, όπως μπορείτε να φανταστείτε, αντιστοιχούν στον χώρο». Το x για παράδειγμα μπορεί να είναι στα δεξιά ή στα αριστερά, το y επάνω ή κάτω και το z στο κέντρο. Δίνοντας διαφορετικές τιμές στις μεταβλητές- π.χ., 5 στο x, 3 στο y και 1 στο z- μπορείτε να τις αντιστοιχίσετε κάθε φορά με ένα σημείο στον χώρο. «Ολα τα σημεία που λύνουν την εξίσωση ενώνονται μεταξύ τους σε ένα σχήμα. Αυτό που βλέπετε, δηλαδή, δεν είναι τίποτε άλλο από τη λύση της εξίσωσης.Και αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον γιατί η εικόνα είναι τελικά ένας άλλος τρόπος για να δει κανείς τον τύπο».
Ακούγεται ίσως λίγο μπερδεμένο, αν όμως το προσπαθήσετε στο Surfer, το ειδικό πρόγραμμα που είναι ανοιχτό στο κοινό, θα δείτε ότι τελικά είναι πάρα πολύ απλό. «Οσο και αν προσπαθήσω να σας το εξηγήσω, ο καλύτερος τρόπος για να το μάθετε είναι να το δοκιμάσετε. Ετσι άλλωστε λειτουργούν τελικά τα μαθηματικά» λέει ο κ. Ματ. «Απλώς παίζετε, μπορείτε να βάλετε έναν οποιονδήποτε τύπο ή να πάρετε έναν από τους υπάρχοντες και να τον αλλάξετε λιγάκι.Τότε θα δείτε έναν καινούργιο τύπο και μια καινούργια εικόνα. Και μπορείτε να συνεχίσετε να τον αλλάζετε,και αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθετε τα μαθηματικά:παίζοντας» .
Το Ινστιτούτο προσφέρει επίσης κάποιες οδηγίες, μερικά «μαθηματικά κόλπα», για να φτιάξει κανείς συγκεκριμένες εικόνες. Αν π.χ. θέλετε να φτιάξετε ένα πρόσωπο, θα μάθετε ποιους τύπους θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε για να πετύχετε δύο μάτια, ένα στόμα και ούτω καθ΄ εξής. Και, αφού θα έχετε εξασκηθεί παίζοντας, θα φθάσετε, όπως εξηγεί ο μαθηματικός, σε κάποιο σημείο στο οποίο μόνοι σας θα μπορείτε να αλλάζετε τις εικόνες και να τις κάνετε όπως ακριβώς θέλετε. Τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσετε και ο τίτλος που θα τους δώσετε δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά. Εναπόκεινται απλώς στη δημιουργικότητά σας.
Μια έκθεση γεννιέται
Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία της έκθεσης έγινε από τον αυστριακό μαθηματικό Χέρβιχ Χάουζερ, ο οποίος άρχισε να συνδυάζει αλγεβρικούς τύπους με εικόνες και να τους δίνει έναν τίτλο. Το Μathematische Forschungsinstitut Οberwolfach σκέφτηκε να αναπτύξει την ιδέα περισσότερο με τη διοργάνωση της «Ιmaginary» στο πλαίσιο του Ετους των Μαθηματικών στη Γερμανία το 2008. Το Surfer, αν και βασικό, αποτελεί ένα μόνο μέρος των διαδραστικών δραστηριοτήτων που προσφέρονται. Ο κάθε επισκέπτης μπορεί να τις δοκιμάσει μία μία ώστε να αρχίσει να μυείται στον κόσμο των μαθηματικών. «Και ένας υπεύθυνος είναι πάντα δίπλα του για να τον καθοδηγήσει και να του εξηγήσειπώς λειτουργεί το καθετί» λέει ο κ. Ματ. «Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικόστοιχείο της έκθεσής μας: η ανθρώπινη επαφή».
Η έκθεση είχε τεράστια επιτυχία και ανταπόκριση, όχι μόνο στο γερμανικό κοινό αλλά και εκτός των συνόρων. Σύντομα άρχισε να περιοδεύει σε διάφορες χώρες. Τελευταίος σταθμός ήταν το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ στη Βρετανία τον περασμένο Μάρτιο και επόμενος θα είναι η Ζυρίχη το ερχόμενο φθινόπωρο. Η Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Ισπανίας την έχει «κλείσει» για ολόκληρο το 2011, αλλά στο ίδιο διάστημα θα παρουσιαστεί παράλληλα σε διάφορες πόλεις της Γερμανίας και της Βρετανίας, ενώ προγραμματίζεται και η παρουσίασή της στην Ελλάδα.
Τις περισσότερες φορές η διοργάνωση γίνεται σε συνεργασία με πανεπιστήμια ή άλλους εκπαιδευτικούς ή επιστημονικούς φορείς, το Ινστιτούτο όμως προτιμά οι εκθεσιακοί χώροι να βρίσκονται εκτός των πανεπιστημιακών ιδρυμάτων, σε κάποιο μουσείο ή ακόμη και στον δρόμο. «Είναι προτιμότερο η έκθεση να γίνεται σε έναν σταθμό του τρένου ή του μετρό, σε ένα σουπερμάρκετ ή και έξω,σε έναν υπαίθριο δημόσιο χώρο, γιατί ο βασικός στόχος της είναι να φθάσει στο ευρύ κοινό» εξηγεί ο κ. Ματ. «Δεν είναι για τους μαθηματικούς,είναι για όλους.Αλλά ταυτοχρόνως είναι μαθηματικά. Μαθηματικά που μερικές φορές μπορεί να είναι ακόμη και πολύπλοκααλλά πάντα είναι για όλους. Και η ιδέα λειτουργεί».
lalina@tovima.gr
LYAPUNOV PLAY
Παιχνίδι Λιαπούνοφ
Ο Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου Μαξ Πλανκ Διατροφολογίας χρησιμοποιεί δυναμικά συστήματα για να μελετήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσμών.Τα συστήματα αυτά μπορεί να επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και μια χαοτική εξέλιξη,ανάλογα με την ικανότητα γονιμότητας των ζώων.Η σταθερότητα και το χάος μπορούν να αναλυθούν με τον υπολογισμό του λεγόμενου εκθέτη Λιαπούνοφ.Οι εικόνες του κ.Μάρκους αποτελούν έγχρωμες χαρτογραφήσεις του εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιμότητας κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων αξόνων.Εδώ το χάος αποδίδεται με σκούρο γαλάζιο χρώμα.
TΟ EΚΑΤΟΝΕΙΚΟΣΑΧΩΡΟΝ
EΠΙΦΑΝΕΙΑ BJ RLING
Βj rling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή τρισδιάστατη καμπύλη μπορεί να βρει κανείς μια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας η οποία την περιέχει.Επιπλέον μπορεί να προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί γύρω από την καμπύλη.Η επιφάνεια που απεικονίζεται εδώ έχει δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο.Οι τύποι αναπτύχθηκαν από τον Ματίας Βέμπερ και το τοπίο του φόντου δημιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιμον Ο΄ Κάλαχαν.
SOFA/ Καναπές
x2+y3+z5=0
x2-y2z2=0
Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y και του z παίρνουμε τον υψηλότερο εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση τέταρτου βαθμού. Οσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο είναι να υπολογίσει κανείς την αλγεβρική επιφάνεια.
ZITRUS/ Εσπεριδοειδές
3 δίνει τη συμμετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο.Το γινόμενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του Ζitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η εξίσωση δεν επιδέχεται πραγματικές λύσεις για το x και το z. CALYPSO/ Καλυψώ
x2+y2z=z2
Η Καλυψώ περιλαμβάνει τρεις ευθείες γραμμές. Η οριζόντια ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σημείο μηδέν (0) όπου ενώνονται το επάνω και το κάτω τμήμα της επιφάνειας. Οι άλλες δύο ευθείες βρίσκονται σε ένα κάθετο επίπεδο. Περνούν και αυτές από το 0 και τέμνονται σε αυτό το σημείο.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΙMAGINARY Εκφραστείτε δημιουργικά με τα μαθηματικά
«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας κάνοντας κλικ εδώ.
Στείλτε μας τη συμμετοχή σας ως τις 26 Σεπτεμβρίου 2010 και σας ευχόμαστε να κερδίσετε έναν από τους τρεις υπολογιστές Sony Vaio ή κουπόνια 100 ευρώ για βιβλία από τα Ελληνικά Γράμματα.
ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΒΗΜΑ
«Το Βήμα» σε συνεργασία με το Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach διοργανώνουν διαγωνισμό καλλιτεχνικής απεικόνισης αλγεβρικών επιφανειών. Δημιουργήστε τη δική σας εικόνα με το ειδικό πρόγραμμα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφημερίδας κάνοντας κλικ εδώ.
Στείλτε μας τη συμμετοχή σας ως τις 26 Σεπτεμβρίου 2010 και σας ευχόμαστε να κερδίσετε έναν από τους τρεις υπολογιστές Sony Vaio ή κουπόνια 100 ευρώ για βιβλία από τα Ελληνικά Γράμματα.
ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΒΗΜΑ
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου